1、将邮箱写出来我发给你！[emailprotected][emailprotected]��绍城区捷胜文昌中学许天一在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。

2、研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

3、确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

(资料图片)

4、对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

5、本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

6、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

7、例1求函数y=的值域解：x≠0，≠0显然函数的值域是：（-∞，0）∪（0，+∞）。

8、例2求函数y=3-的值域。

9、解：≥0-≤03-≤3故函数的值域是：[-∞，3]2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

10、例3、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。

11、解：将函数配方得：y=（x-1）+4，x[-1，2]，由二次函数的性质可知：当x=1时，y=4当x=-1，时=8故函数的值域是：[4，8]3、判别式法例4求函数y=的值域。

12、解：原函数化为关x的一元二次方程（y-1)+（y-1）x=0（1）当y≠1时，xR,△=(-1)-4(y-1)(y-1)≥0解得：≤y≤（2）当y=1，时，x=0,而1[,]故函数的值域为[，]例5求函数y=x+的值域。

13、解：两边平方整理得：2-2（y+1）x+y=0（1）xR，△=4（y+1）-8y≥0解得：1-≤y≤1+但此时的函数的定义域由x（2-x）≥0，得：0≤x≤2。

14、由△≥0，仅保证关于x的方程：2-2（y+1）x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[，]。

15、可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

16、0≤x≤2，y=x+≥0，=0，y=1+代入方程（1），解得：=[0，2]，即当=时，原函数的值域为：[0，1+]。

17、注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

18、4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

19、例6求函数y=值域。

20、解：由原函数式可得：x=则其反函数为：y=其定义域为：x≠故所求函数的值域为：（-∞，）5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

21、例7求函数y=的值域。

22、解：由原函数式可得：=＞0，＞0解得：-1＜y＜1。

23、故所求函数的值域为(-1,1).例8求函数y=的值域。

24、解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y可化为：sinx（x+β）=3y即sinx（x+β）=∵x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。

25、即-1≤≤1解得：-≤y≤故函数的值域为[-，]。

26、6、函数单调性法例9求函数y=（2≤x≤10）的值域解：令y=，=，则y，在[2，10]上都是增函数。

27、所以y=y+在[2，10]上是增函数。

28、当x=2时，y=+=，当x=10时，=+=33。

29、故所求函数的值域为：[，33]。

30、例10求函数y=-的值域。

31、解：原函数可化为：y=令y=，=，显然y，在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y=y+在[1，+∞）上也为无上界的增函数。

32、所以当x=1时，y=y+有最小值，原函数有最大值=。

33、显然y＞0，故原函数的值域为(0,]。

34、7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。

35、换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

36、例11求函数y=x+的值域。

37、解：令x-1=t，（t≥0）则x=+1∵y=+t+1=+，又t≥0，由二次函数的性质可知当t=0时，y=1，当t→0时，y→+∞。

38、故函数的值域为[1，+∞）。

39、例12求函数y=x+2+的值域解：因1-≥0，即≤1故可令x+1=cosβ，β∈[0，∏]。

40、∴y=cosβ+1+=sinβ+cosβ+1=sin（β+∏/4）+1∵0≤β≤∏，0≤β+∏/4≤5∏/4∴-≤sin（β+∏/4）≤1∴0≤sin（β+∏/4）+1≤1+。

41、故所求函数的值域为[0，1+]。

42、例13求函数y=的值域解：原函数可变形为：y=-可令x=tgβ，则有=sin2β，=cos2β∴y=-sin2βcos2β=-sin4β当β=k∏/2-∏/8时，=。

43、当β=k∏/2+∏/8时，y=-而此时tgβ有意义。

44、故所求函数的值域为[-，]。

45、例14求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x∈[-∏/12∏/2]的值域。

46、解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1令sinx+cosx=t，则sinxcosx=（-1）y=（-1）+t+1=由t=sinx+cosx=sin（x+∏/4）且x∈[-∏/12，∏/2]可得：≤t≤∴当t=时，=+，当t=时，y=+故所求函数的值域为[+，+]。

47、例15求函数y=x+4+的值域解：由5-x≥0，可得∣x∣≤故可令x=cosβ，β∈[0，∏]y=cosβ+4+sinβ=sin（β+∏/4）+4∵0≤β≤∏，∴∏/4≤β+∏/4≤5∏/4当β=∏/4时，=4+，当β=∏时，y=4-。

48、故所求函数的值域为：[4-，4+]。

49、8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

50、例16求函数y=+的值域。

51、解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。

52、由上图可知：当点P在线段AB上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10故所求函数的值域为：[10，+∞）例17求函数y=+的值域解：原函数可变形为：y=+上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，y=∣AB∣==，故所求函数的值域为[，+∞）。

53、例18求函数y=-的值域解：将函数变形为：y=-上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。

54、即：y=∣AP∣-∣BP∣由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P¹，则构成△ABP¹，根据三角形两边之差小于第三边，有∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣＜∣AB∣==即：-＜y＜（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=。

55、综上所述，可知函数的值域为：（-，-]。

56、注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。

57、如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），（-2，-1），在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为：（3，2），（2，-1），在x轴的同侧。

58、9、不等式法利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

59、例19求函y=（sinx+1/sinx）+（cosx+1/cosx）的值域解：原函数变形为：y=（+）+1/+1/=1++=3++≥3+2=5当且仅当tgx=ctgx，即当x=k∏±∏/4时（k∈z），等号成立。

60、故原函数的值域为：[5，+∞）。

61、例20求函数y=2sinxsin2x的值域解：y=2sinxsinxcosx=4cosx=16=8（2-2）≤8（++2-）=8[（++2-）/3]=当且当=2-2，即当=时，等号成立。

62、由≤，可得：-≤y≤故原函数的值域为：[-，）。

63、10、多种方法综合运用例21求函数y=的值域解：令t=（t≥0），则x+3=+1（1）当t＞0时，y==≤，当且仅当t=1，即x=-1时取等号所以0＜y≤。

64、（2）当t=0时，y=0。

65、综上所述，函数的值域为：[0，]。

66、注：先换元，后用不等式法。

67、例22求函数y=的值域。

68、解：y=+=+令x=tg，则=，=sin，∴y=+sin=-+sin+1=-+∴当sin=时，=。

69、当sin=-1时，y=-2。

70、此时tg都存在，故函数的值域为：〔－2，〕。

71、注：此题先用换元法。

72、后用配方法，然后再运用sin的有界性。

73、总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

本文就为大家分享到这里，希望小伙伴们会喜欢。